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Gymnasium Laurentianum

[  Konvexe Vierecke in der Ebene ]



Es werden hier nur ebene Vierecke behandelt, das heißt alle vier Eckpunkte der Figur müssen in einer Ebene liegen. Es werden nicht vier beliebige Punkte im Raum behandelt oder 4 Punkte auf einer Kugeloberfläche oder was sonst alles noch denkbar wäre.


Vierecke: konvex, konkav, überschlagen


Wenn zwei oder mehr Punkte der vier Eckpunkte zusammenfallen oder wenn mehr als zwei Punkte auf derselben Kante liegen, dann handelt es sich um entartete Vierecke, die hier nicht behandelt werden.

Überschlagene Vierecke (verschränkte Vierecke) sind solche, bei denen beide Diagonalen außerhalb liegen (Zeichnung links oben). Sie werden hier nicht weiter diskutiert.

Konkave Vierecke haben eine Diagonale im Innern und eine außerhalb (Zeichnung oben rechts). Sie werden hier nicht weiter diskutiert.

Es geht nur um konvexe Vierecke, bei denen beide Diagonalen im Innern liegen (Zeichnung oben in der Mitte).


Hierarchie der ebenen konvexen Vierecke


Die gelben Pfeile zeigen vom allgemeineren Viereck zum spezielleren. Wenn ein Weg aus Pfeilen zwischen zwei Vierecken besteht, dann erbt das untere, speziellere Viereck die Eigenschaften des oberen, allgemeineren Vierecks.

Man benötigt fünf unabhängige Stücke, um ein allgemeines Viereck eindeutig zu konstruieren. Man benötigt drei Stücke für ein Parallelogramm und nur ein Stück für ein Quadrat. Dementsprechend sind die Vierecke hier in fünf Schichten angeordnet, das Quadrat in der Schicht Eins und das allgemeine Viereck in Schicht Fünf.

  1. Ein konvexes Viereck (Tetragon) ist eine geschlossene, ebene Figur mit vier Strecken als Kanten und vier Ecken.
    Eigenschaften: Die Summe der Innenwinkel beträgt 360°.
  2. Ein Sehnenviereck (Sekantenviereck, Umkreisviereck) ist ein Viereck, dessen Ecken auf einem Kreis (Umkreis) liegen.Sehenviereck
    Eigenschaften: Gegenüberliegende Winkel ergänzen sich zu 180° also α + γ = β + δ = 180°. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
  3. Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Kanten parallel sind.
  4. Ein Drachen (Drachenviereck) ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale durch die andere halbiert wird. Wenn man hervorheben will, dass der allgemeine Dracken nicht symmetrisch ist, sagt man auch schräger Drachen.
  5. Ein Tangentenviereck (Inkreisviereck) ist ein Viereck, bei dem die vier Kanten Tangenten an einen Kreis (Inkreis) sind.
    Eigenschaften: Zwei gegenüberliegende Seiten sind zusammen genauso lang wie die beiden anderen Seiten, also a+c = b+d. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
  6. Ein symmetrisches Trapez (gleichschenkliges Trapez) ist ein Trapez mit der Mittelsenkrechten der parallelen Kanten als Symmetrieachse.
    Eigenschaften: Die beiden nicht parallelen Kanten (Schenkel) sind gleich lang. Die Diagonalen haben die gleiche Länge. Ein symmetrisches Trapez ist ein Sehnenviereck.
  7. Ein Parallelogramm ist ein Trapez (oder auch ein Drachen) mit dem Schnittpunkt der Diagonalen als Symmetriezentrum.
    Eigenschaften: Ein Parallelogramm ist ein Drachen. Gegenübeliegende Seiten sind parallel und gleich lang. Nebeneinanderliegende Winkel ergänzen sich zu 180°. Gegenüberliegende Winkel sind gleich groß. Die Diagonalen halbieren sich gegenseitig.
  8. Ein symmetrischer Drachen (symmetrisches Drachenviereck, Deltoid, gerader Drachen) ist ein Drachen mit einer Diagonalen als Symmetrieachse.
    Eigenschaften: Die Diagonalen schneiden sich im rechten Winkel. Zwei gegenüberliegende Winkel sind gleich groß, die beiden anderen Winkel werden von der Symmetrieachse halbiert. Ein symmetrischer Drachen ist ein Tangentenviereck.
  9. Ein Rechteck (Orthogon) ist ein Parallelogramm mit den Mittelsenkrechten auf den Kanten als Symmetrieachsen.
    Eigenschaften: Ein Rechteck ist punktsymmetrisch. Alle Winkel sind 90°. Ein Rechteck ist ein Trapez.
  10. Eine Raute (Rhombus, gleichseitiges Viereck) ist ein Parallelogramm mit den Diagonalen als Symmetrieachsen.
    Eigenschaften: Eine Raute ist punktsymmetrisch. Alle Seiten sind gleich lang. Eine Raute ist ein Drachen.
  11. Ein Quadrat (regelmäßiges Viereck, reguläres Viereck) ist ein Rechteck mit den Diagonalen als Symmetrieachsen.
    Eigenschaften: Ein Quadrat ist ein Rechteck. Ein Quadrat ist eine Raute.


Klasse 8a im März 2004
Die Klasse 8a des Gymnasium Laurentianum Warendorf im März 2004.
Klasse 8b im März 2004
Die Klasse 8b des Gymnasium Laurentianum Warendorf im März 2004.



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