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Unterricht  |  Mathematik



Gymnasium Laurentianum

[  20. Juni 2006 ]



Vorwärtseinschneiden


links Betonwerk, rechts Fernmeldeturm, vom Sportfeld des Laurentianum
Links der Turm des Fertigbetonwerks, rechts der Fernmeldeturm, Sicht vom Sportfeld des Laurentianum aus, Collage aus 5 Einzelfotos.

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Man kann vom Sportplatz aus an einigen Punkten gleichzeitig den Fernmeldeturm und den Turm des Fertigbetonwerks sehen. Zwischen beiden Türmen liegen einige 100m. Ihren Abstand kann man aber nicht direkt mit dem Maßband messen, weil Hindernisse dazwischenliegen. Als letzte Matheaufgabe im Schuljahr 2005/2006 galt es für die Klasse 10B den Abstand beider Türme zu bestimmen.

Planfigur

Die Planfigur verdeutlicht das Vorhaben. Gesucht ist die Länge der Strecke x zwischen BW (Betonwerk) und FT (Fernmeldeturm). Die Strecke s zwischen den Punkten A und B soll die Standlinie auf dem Sportplatz sein, deren Länge mit dem Maßband ermittelt werden kann. Bei A und B müssen dann jeweils 2 Winkel gemessen werden. Der Rest ist Trigonometrie.

Gemessen wurde:
Standlinie  s = 52 m
bei A:  alpha = 62° ,  beta = 127,5°
bei B:  gamma = 35° ,  delta = 110°

Zuerst wird mit dem Sinussatz im orangefarbenen  Dreieck(A,B,BW)  die Streckenlänge u berechnet:
u  =  s.sin(gamma):sin(180°-beta-gamma)
    = 52.sin(35°):sin(17,5°)
    = 99,187 m

Dann wird mit dem Sinussatz im gelben  Dreieck(A,B,FT)  die Streckenlänge v berechnet:
v  =  s.sin(delta):sin(180°-alpha-delta)
    = 52.sin(110°):sin(8°)
    = 351,102 m

Nun wird mit dem Kosinussatz im  Dreieck(A,FT,BW)  die Streckenlänge x berechnet:
x  =  Wurzel(u² + v² - 2uv.cos(beta-alpha))
    = Wurzel(104227,495)
    = 322,843 m

Die Rechnung ist genau, die Länge der Standlinie ist auch mit großer Genauigkeit gemessen worden. Aber für die Winkelmessungen hatten wir nur einen verhältnismäßig groben Winkelmesser mit einer behelfsmäßigen Visiereinrichtung. Ein Theodolit wäre das angemessene Werkzeug gewesen, aber der war nicht verfügbar. So werden wohl Ungenauigkeiten bei der Winkelmessung vorgekommen sein und das kann einen beachtlichen Unterschied ausmachen. Wenn wir alpha um 2° falsch gemessen hätten, würden das schon mehr als 60 m im Ergebnis ausmachen.

Somit bleibt offen ob es wirklich 322,8 m Luftlinie zwischen den beiden Türmen sind. Aber das Meßprinzip war richtig und die Größenordnung stimmt wohl auch.


Winkelmessung
Winkelmessung am Punkt B auf dem Sportfeld hinter der Turnhalle des Laurentianum.


Die Akteure der 10B
Akteure aus der 10B am Punkt A, nachdem die Standlinie auf dem Sportfeld vermessen wurde.



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