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Gymnasium Laurentianum
[  Apfelmännchen Rezept  ]
 

Das "Apfelmännchen" ist das bekanntest Fraktal überhaupt. Es ist gar nicht so schwer eine solche Figur zu zeichnen. Hier eine kurze Anleitung, gewissermaßen als Rezept. Einige mathematische Vertiefungen wären aber ganz sinnvoll, finden sich aber an anderer Stelle.

1. Es geht um komplexe Zahlen z  =  a + b*i mit
Realteil a und Imaginärteil b.
Der Knackpunkt ist die imaginäre Einheit i,
für die gilt   i*i = -1

Beispiel:

z = 3 + 4i
2. Gaußsche-ZahlenebeneEine komplexe Zahl kann man graphisch in der Gaußschen Zahlenebene veranschaulichen. Die waagerechte Achse für die Realteile, die senkrechte Achse für die Imaginärteile. Die Zahl z  =  a + b*i  wird dann durch den Punkt Z(a, b) in der Ebene veranschaulicht.

3. Der Betrag einer komplexen Zahl ist der Abstand des Punktes vom Nullpunkt. Nach Pythagoras kann man den Betrag von z  =  a + b*i dann ganz elementar ausrechnen als:

|z|  =  Wurzel(a*a + b*b)

Beispiel:

|3 + 4i| = Wurzel(9 + 16) = 5
4. Das Quadrat einer komplexen Zahl wird dann so berechnet, wie man mit Termen eben rechnet:

z*z  =  (a + b*i) * (a + b*i)  =  a*a + 2*a*b*i + b*b*i*i
       =  a*a - b*b + 2*a*b*i

Beispiel:

(3 + 4i)^2  =  3*3 - 4*4 + 2*3*4*i
=  -7 + 24i
5. Für eine beliebige komplexe Zahl  c  wird jetzt eine Folge von komplexen Zahlen
z[0], z[1], ..., z[n], z[n+1], ...   nach der folgenden einfachen Formel berechnet:

z[0]      =  0
z[1]      =  z[0]*z[0] + c
z[2]      =  z[1]*z[1] + c
.......
z[n+1]  =  z[n]*z[n] + c




Beispiel für c = 3+4i  :

z[0] = 0+0i
z[1] = 0+0i + 3+4i = 3+4i
z[2] = -7+24i + c = -4+28i
z[3] = -758-214i + c = -755-210i
6. Die Folge  z[n]  kann man ohne Probleme für jede beliebige komplexe Zahl c bis zu jedem n berechnen. Meist wird der Betrag von  z[n]  immer größer werden. Es gibt aber komplexe Zahlen c, für die der Betrag von z[n] immer kleiner als 2 bleiben wird. Die Menge aller dieser komplexen Zahlen ist die Mandelbrot-Menge.

7. Weil man in der Praxis  z[n]  nicht für beliebig grosse  n  berechnen kann, legt man eine bestimmte Berechnungstiefe fest, z.B. n=50.

Jeder Zahl c ordnet man nun eine Farbe zu. Die Zahlen c, für die z.B. bei n=50   |z[50]|  <  2  ist, erhalten eine eindeutige Farbe, das sind die möglichen Elemente der Mandelbrot-Menge.

Die anderen Zahlen erhalten Farben nach irgendeiner Regel. Aber die Regel sollte so sein, dass die Zahlen die gleiche Farbe erhalten, für die bei gleichem k der Betrag von z[k] grösser als 2 geworden ist.

8. Wenn man jetzt die Bildschirmebene als Teil der Gaußschen- Zahlenebene auffasst, für alle c aus diesem Teil der Ebene die Farbe bestimt und den entsprechenden Punkt in der Farbe setzt, dann erscheint das Apfelmännchen.

Zu beachten ist dann noch ein geeigneter Maßstab und Bildausschnitt.



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